¿Quieres dominar las integrales algebraicas? Descubre en este artículo una selección de ejemplos resueltos que te ayudarán a comprender y aplicar esta herramienta matemática fundamental. Aprende paso a paso cómo simplificar y resolver estas ecuaciones, utilizando técnicas claves y desarrollando tu destreza en cálculo. ¡Sumérgete en el mundo de las integrales algebraicas y despierta tu pasión por las matemáticas!
Contenido
Ejemplos resueltos de integrales algebraicas
Claro, a continuación te presentaré algunos ejemplos resueltos de integrales algebraicas en el contexto de Ejemplos. Recuerda que las etiquetas HTML se utilizan para resaltar las frases más importantes del texto.
1. Integral simple:
Calcular la integral definida de la función f(x) = 2x + 3 en el intervalo [1, 5].
Solución:
Utilizando la regla básica de integración, tenemos:
∫(2x + 3)dx = x^2 + 3x + C
Aplicando la fórmula de la integral definida, evaluamos la función en los límites del intervalo:
∫[1, 5] (2x + 3)dx = [(5)^2 + 3(5)] – [(1)^2 + 3(1)]
= 28
Por lo tanto, la integral definida de la función f(x) = 2x + 3 en el intervalo [1, 5] es igual a 28.
2. Integral con cambio de variable:
Calcular la integral indefinida de la función f(x) = e^x / (e^x + 1).
Solución:
Utilizaremos el cambio de variable u = e^x + 1.
Primero, calculamos du/dx y despejamos dx:
du/dx = e^x => dx = du / e^x
Sustituyendo en la integral original:
∫(e^x / (e^x + 1))dx = ∫((1/u) * (du / e^x))
= ∫(1 / u) du
Aplicando la regla básica de integración, tenemos:
∫(1 / u)du = ln|u| + C
Finalmente, reemplazamos la variable original u por e^x + 1:
∫(e^x / (e^x + 1))dx = ln|e^x + 1| + C
Por lo tanto, la integral indefinida de la función f(x) = e^x / (e^x + 1) es igual a ln|e^x + 1| + C.
3. Integral trigonométrica:
Calcular la integral indefinida de la función f(x) = sen(x) * cos(x).
Solución:
Utilizando la identidad trigonométrica sen(2x) = 2sen(x)cos(x), podemos simplificar la integral:
∫(sen(x) * cos(x))dx = (1/2)∫sen(2x)dx
Aplicando la regla básica de integración, tenemos:
(1/2)∫sen(2x)dx = (-1/4)cos(2x) + C
Por lo tanto, la integral indefinida de la función f(x) = sen(x) * cos(x) es igual a (-1/4)cos(2x) + C.
A continuación, te presento una lista en HTML
con los ejemplos resueltos:
-
Integral simple:
- Función: f(x) = 2x + 3
- Intervalo: [1, 5]
- Resultado: 28
-
Integral con cambio de variable:
- Función: f(x) = e^x / (e^x + 1)
- Resultado: ln|e^x + 1| + C
-
Integral trigonométrica:
- Función: f(x) = sen(x) * cos(x)
- Resultado: (-1/4)cos(2x) + C
Recuerda que las etiquetas HTML se utilizan para resaltar las frases más importantes del texto.
INTEGRAL DEFINIDA – Ejercicio 10
INTEGRAL DEFINIDA – Ejercicio 6
Ejemplo 1: Integrales algebraicas simples
Enunciado del problema:
Calcular la integral indefinida de la siguiente expresión algebraica:
∫(2x^3 + 5x^2 – 3x + 7) dx
Donde ∫ representa la integral indefinida y dx indica que la variable de integración es x.
Solución:
Para resolver esta integral, podemos aplicar la regla básica de integración que nos dice que la integral de una potencia de x es igual a la potencia incrementada en 1 dividida por el nuevo exponente. Aplicando esta regla a cada término de la expresión, obtenemos:
- ∫(2x^3) dx = (2/4)x^4 = (1/2)x^4 + C1
- ∫(5x^2) dx = (5/3)x^3 = (5/3)x^3 + C2
- ∫(-3x) dx = (-3/2)x^2 = (-3/2)x^2 + C3
- ∫(7) dx = 7x = 7x + C4
Donde C1, C2, C3 y C4 son constantes de integración.
Finalmente, sumamos todas las integrales obtenidas para obtener la solución completa:
∫(2x^3 + 5x^2 – 3x + 7) dx = (1/2)x^4 + (5/3)x^3 – (3/2)x^2 + 7x + C
Donde C es la constante de integración que representa todas las constantes C1, C2, C3 y C4.
Ejemplo 2: Integrales algebraicas con fracciones parciales
Enunciado del problema:
Calcular la integral indefinida de la siguiente expresión algebraica utilizando el método de fracciones parciales:
∫(3x^2 + 7)/(x-2) dx
Solución:
Para resolver esta integral utilizando el método de fracciones parciales, primero descomponemos la expresión en fracciones parciales. Sabemos que el denominador x-2 se puede factorizar en (x-2), por lo que escribimos:
(3x^2 + 7)/(x-2) = A/(x-2)
Para encontrar el valor de A, multiplicamos ambos lados de la ecuación por (x-2) y luego igualamos los numeradores:
3x^2 + 7 = A
Luego, podemos resolver la integral de la fracción parcial A/(x-2) utilizando la regla básica de integración:
∫A/(x-2) dx = A ln|x-2| + C
Finalmente, sustituimos el valor de A obtenido anteriormente:
∫(3x^2 + 7)/(x-2) dx = (3x^2 + 7) ln|x-2| + C
Donde ln|x-2| representa el logaritmo natural del valor absoluto de (x-2), y C es la constante de integración.
Preguntas Frecuentes
¿Podrías proporcionar un ejemplo resuelto de una integral algebraica usando el método de sustitución trigonométrica?
¡Claro! Aquí tienes un ejemplo resuelto de una integral algebraica utilizando el método de sustitución trigonométrica:
Para resolver la integral ∫(x^2)/(√(1-x^2)) dx, vamos a utilizar la sustitución trigonométrica x = sen(θ).
Primero, necesitamos encontrar la derivada de la función de sustitución: dx = cos(θ) dθ.
Ahora, sustituimos en la integral original:
∫((sen^2(θ))/(√(1-sen^2(θ)))) cos(θ) dθ.
Simplificamos la expresión dentro de la raíz:
∫(sen^2(θ))/(cos(θ)) dθ.
Usamos la identidad trigonométrica sen^2(θ) = 1 – cos^2(θ):
∫((1-cos^2(θ)))/(cos(θ)) dθ.
Dividimos la fracción para obtener dos términos:
∫(1/cos(θ)) dθ – ∫(cos^2(θ))/(cos(θ)) dθ.
Simplificamos la segunda integral:
∫(1/cos(θ)) dθ – ∫cos(θ) dθ.
Integramos cada término por separado:
∫sec(θ) dθ – ∫cos(θ) dθ.
La integral de sec(θ) se resuelve utilizando la sustitución u = tan(θ), entonces du = sec^2(θ) dθ:
∫du – ∫cos(θ) dθ.
La primera integral se convierte en una simple integración:
u – ∫cos(θ) dθ.
La integral de cos(θ) es sin(θ):
u – sin(θ) + C.
Sustituimos nuevamente θ por su equivalente en términos de x:
u – sin(arcsen(x)) + C.
Recordemos que arcsen(x) = θ, entonces:
u – sin(arcsen(x)) + C = u – x + C.
Finalmente, reemplazamos la variable u por su equivalente en términos de x:
∫(x^2)/(√(1-x^2)) dx = x – x + C = C.
Por lo tanto, la solución de la integral es C.
Espero que este ejemplo resuelto te haya sido útil.
¿Cuál es la solución a la integral algebraica ∫(x^3 + 2x^2 – 3x + 1)/(x^2 – 4) dx?
Para resolver la integral algebraica ∫(x^3 + 2x^2 – 3x + 1)/(x^2 – 4) dx, podemos utilizar el método de fracciones parciales.
Primero, factorizamos el denominador x^2 – 4. Observamos que se trata de una diferencia de cuadrados, por lo que podemos escribirlo como (x – 2)(x + 2).
Ahora, descomponemos la fracción en fracciones parciales:
(x^3 + 2x^2 – 3x + 1)/(x^2 – 4) = A/(x – 2) + B/(x + 2)
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por (x – 2)(x + 2):
x^3 + 2x^2 – 3x + 1 = A(x + 2) + B(x – 2)
Expandimos y agrupamos términos:
x^3 + 2x^2 – 3x + 1 = (A + B)x + (2A – 2B)
Igualamos los coeficientes de x en ambos lados de la ecuación:
A + B = 0 (coeficiente de x)
2A – 2B = 1 (término independiente)
Resolvemos este sistema de ecuaciones para encontrar los valores de A y B.
De la primera ecuación, despejamos A en función de B: A = -B
Sustituimos este valor en la segunda ecuación:
2(-B) – 2B = 1
-4B = 1
B = -1/4
Sustituimos el valor de B en la primera ecuación:
A + (-1/4) = 0
A = 1/4
Ahora que tenemos los valores de A y B, podemos reescribir la integral original en términos de fracciones parciales:
∫(x^3 + 2x^2 – 3x + 1)/(x^2 – 4) dx = ∫(1/4)/(x – 2)dx + ∫(-1/4)/(x + 2)dx
Integramos cada una de las fracciones por separado:
∫(1/4)/(x – 2)dx = (1/4)ln|x – 2| + C1
∫(-1/4)/(x + 2)dx = (-1/4)ln|x + 2| + C2
Donde ln| | es el logaritmo natural de la función absoluta.
Finalmente, la solución a la integral algebraica ∫(x^3 + 2x^2 – 3x + 1)/(x^2 – 4) dx es:
∫(x^3 + 2x^2 – 3x + 1)/(x^2 – 4) dx = (1/4)ln|x – 2| – (1/4)ln|x + 2| + C
Donde C es la constante de integración.
¿Cómo se resuelve la integral algebraica ∫(3x^2 + 5x – 2)/(x^3 + 2x^2 + x) dx utilizando el método de fracciones parciales?
Para resolver la integral algebraica ∫(3x^2 + 5x – 2)/(x^3 + 2x^2 + x) dx utilizando el método de fracciones parciales, primero debemos descomponer la función racional en fracciones parciales.
El denominador de la función es un polinomio cúbico, por lo que lo factorizamos para obtener los factores irreducibles. En este caso, podemos factorizar el denominador como (x)(x+1)^2.
Después de factorizar, escribimos la expresión inicial como una suma de fracciones parciales con denominadores irreducibles. La forma general de las fracciones parciales en este caso es:
∫(3x^2 + 5x – 2)/(x)(x+1)^2 dx = frac{A}{x} + frac{B}{x+1} + frac{C}{(x+1)^2}
Donde A, B y C son constantes que debemos determinar.
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador común (x)(x+1)^2 para eliminar los denominadores y obtener una ecuación equivalente:
3x^2 + 5x – 2 = A(x+1)^2 + B(x)(x+1) + C(x)
Simplificamos y agrupamos términos similares:
3x^2 + 5x – 2 = A(x^2 + 2x + 1) + B(x^2 + x) + C(x)
Distribuimos los términos dentro de los paréntesis:
3x^2 + 5x – 2 = Ax^2 + 2Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx
Igualamos los coeficientes de los términos semejantes en ambos lados de la ecuación:
Coeficiente de x^2: 3 = A + B
Coeficiente de x: 5 = 2A + B + C
Término independiente: -2 = A
Resolviendo este sistema de ecuaciones, encontramos que A = -2, B = 5 y C = -7.
Ahora podemos escribir la integral original como una suma de fracciones parciales:
∫(3x^2 + 5x – 2)/(x)(x+1)^2 dx = frac{-2}{x} + frac{5}{x+1} + frac{-7}{(x+1)^2}
Integramos cada una de las fracciones por separado:
∫frac{-2}{x} dx = -2 ln|x| + C1
∫frac{5}{x+1} dx = 5 ln|x+1| + C2
∫frac{-7}{(x+1)^2} dx = frac{7}{x+1} + C3
Donde C1, C2 y C3 son constantes de integración.
Finalmente, la solución completa de la integral sería:
∫(3x^2 + 5x – 2)/(x^3 + 2x^2 + x) dx = -2 ln|x| + 5 ln|x+1| + frac{7}{x+1} + C
Donde C es una constante de integración.
¿Cuál es el procedimiento para resolver la integral algebraica ∫(e^x + 2x)/(x^2 + 3x + 2) dx utilizando el método de descomposición en factores?
Para resolver la integral algebraica ∫(e^x + 2x)/(x^2 + 3x + 2) dx utilizando el método de descomposición en factores, debemos seguir los siguientes pasos:
1. Factoriza el denominador: x^2 + 3x + 2. Podemos ver que se trata de un trinomio cuadrado perfecto, por lo que se factoriza como (x + 1)(x + 2).
2. Ahora, debemos descomponer la fracción en fracciones parciales. Para ello, escribimos la fracción inicial como la suma de dos fracciones:
∫(e^x + 2x)/(x^2 + 3x + 2) dx = ∫[A/(x + 1) + B/(x + 2)] dx
3. Multiplicamos ambos lados de la igualdad por el denominador común (x + 1)(x + 2):
e^x + 2x = A(x + 2) + B(x + 1)
4. Expandimos y agrupamos términos semejantes:
e^x + 2x = (A + B) x + (2A + B)
5. Comparando coeficientes, podemos igualar los términos semejantes:
A + B = 1
2A + B = 2
6. Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales para encontrar los valores de A y B. Restando la primera ecuación de la segunda, obtenemos A = 1.
7. Sustituimos el valor de A en la primera ecuación para encontrar B:
A + B = 1
1 + B = 1
B = 0
8. Por lo tanto, tenemos que A = 1 y B = 0.
9. Ahora podemos reescribir la integral inicial utilizando las fracciones parciales:
∫(e^x + 2x)/(x^2 + 3x + 2) dx = ∫[1/(x + 1) + 0/(x + 2)] dx
10. Simplificamos la integral:
∫(e^x + 2x)/(x^2 + 3x + 2) dx = ∫[1/(x + 1)] dx
11. Integramos cada término:
∫(e^x + 2x)/(x^2 + 3x + 2) dx = ln|x + 1| + C
Donde C es la constante de integración.
En resumen, la solución de la integral algebraica utilizando el método de descomposición en factores es ln|x + 1| + C.
En conclusión, las integrales algebraicas son herramientas fundamentales en el campo de las matemáticas, permitiendo resolver problemas complejos mediante la aplicación de técnicas específicas. A lo largo de este artículo, hemos analizado ejemplos resueltos que demuestran la aplicación práctica de estas integrales. Si quieres seguir profundizando en este tema apasionante, te invito a compartir este contenido y explorar más sobre el fascinante mundo de las integrales algebraicas.
