¿Buscas ejemplos resueltos sobre combinación sin repetición? ¡Has llegado al lugar indicado! En este artículo, exploraremos diversos ejercicios para comprender a fondo este concepto matemático. Aprenderás cómo calcular el número de combinaciones posibles sin que se repitan elementos. Prepárate para sumergirte en la fascinante teoría de la combinatoria y descubrir su aplicación en situaciones reales. ¡No te pierdas esta oportunidad de ampliar tus conocimientos matemáticos!
Contenido
- Ejemplos resueltos de combinación sin repetición
- XVI Copa Panamericana NORCECA de Voleibol Varonil. FINALES TERCER Y CUARTO LUGAR ▶️ CHILE VS MEXICO
- PERMUTACIONES Super facil – Para principiantes
- Definición de combinación sin repetición
- Fórmula para calcular la cantidad de combinaciones sin repetición
- Ejemplos resueltos de combinación sin repetición
- Preguntas Frecuentes
Ejemplos resueltos de combinación sin repetición
La combinación sin repetición es un concepto fundamental en matemáticas que se utiliza para contar el número de formas en las que podemos seleccionar un subconjunto de elementos de un conjunto, sin tener en cuenta el orden ni la repetición de los mismos.
Para entender mejor este concepto, veamos algunos ejemplos resueltos de combinación sin repetición:
Ejemplo 1: Supongamos que tenemos un conjunto de 5 letras: A, B, C, D y E. Queremos seleccionar un subconjunto de 3 letras. Para determinar cuántas combinaciones posibles existen, podemos utilizar la fórmula de la combinación sin repetición:
C(n, r) = n! / (r! * (n – r)!)
Donde “n” representa el número de elementos en el conjunto y “r” representa el número de elementos que queremos seleccionar.
Aplicando la fórmula en este ejemplo, obtenemos:
C(5, 3) = 5! / (3! * (5 – 3)!)
= 5! / (3! * 2!)
= (5 * 4 * 3!) / (3! * 2!)
= (5 * 4) / 2
= 10
Por lo tanto, existen 10 combinaciones posibles de seleccionar un subconjunto de 3 letras del conjunto dado.
Ejemplo 2: Ahora consideremos un conjunto de números del 1 al 6. Queremos seleccionar un subconjunto de 4 números. Aplicando la fórmula de la combinación sin repetición, obtenemos:
C(6, 4) = 6! / (4! * (6 – 4)!)
= 6! / (4! * 2!)
= (6 * 5 * 4!) / (4! * 2!)
= (6 * 5) / 2
= 15
Así, existen 15 combinaciones posibles de seleccionar un subconjunto de 4 números del conjunto dado.
En resumen, la combinación sin repetición nos permite contar el número de formas en las que podemos seleccionar un subconjunto de elementos de un conjunto, sin tener en cuenta el orden ni la repetición de los mismos. Este concepto es ampliamente utilizado en matemáticas y tiene aplicaciones en diversas áreas como la probabilidad, la estadística y la teoría de conjuntos.
Referencias:
- Martínez, F. (2019). Matemáticas Básicas. México: Editorial Trillas.
- Rubio, E. (2017). Cálculo Combinatorio. España: Editorial Paraninfo.
XVI Copa Panamericana NORCECA de Voleibol Varonil. FINALES TERCER Y CUARTO LUGAR ▶️ CHILE VS MEXICO
PERMUTACIONES Super facil – Para principiantes
Definición de combinación sin repetición
Concepto y características
La combinación sin repetición es un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad y la combinatoria. Se refiere a una selección de elementos en la que no se permite elegir el mismo elemento más de una vez. Es decir, cada elemento solo puede estar presente una sola vez en la combinación resultante.
Para entender mejor este concepto, consideremos un ejemplo sencillo. Supongamos que tenemos un conjunto de 5 libros diferentes y queremos seleccionar 3 libros para leer. Si aplicamos la combinación sin repetición, no podríamos seleccionar el mismo libro más de una vez en nuestra selección final.
Es importante destacar que el orden en el que se seleccionan los elementos no importa en la combinación sin repetición. Es decir, la combinación {A, B, C} es la misma que la combinación {B, C, A}, ya que ambos conjuntos contienen los mismos elementos sin repetición.
Fórmula para calcular la cantidad de combinaciones sin repetición
Fórmula y ejemplos
La fórmula general para calcular la cantidad de combinaciones sin repetición se basa en la fórmula del coeficiente binomial. Esta fórmula es:
C(n, k) = n! / (k! * (n – k)!)
Donde “n” representa el número total de elementos disponibles y “k” representa el número de elementos que se seleccionarán para la combinación.
Por ejemplo, si queremos calcular la cantidad de combinaciones posibles al seleccionar 3 libros de un conjunto de 5 libros, aplicamos la fórmula:
- n = 5 (número total de libros)
- k = 3 (número de libros a seleccionar)
Aplicando la fórmula:
C(5, 3) = 5! / (3! * (5 – 3)!) = 5! / (3! * 2!) = 10
Por lo tanto, hay un total de 10 combinaciones posibles al seleccionar 3 libros de un conjunto de 5 libros.
Ejemplos resueltos de combinación sin repetición
Cálculo paso a paso
Para ilustrar mejor cómo se aplican las combinaciones sin repetición, veamos algunos ejemplos resueltos:
Ejemplo 1:
Supongamos que tenemos un conjunto de 4 colores: rojo, azul, verde y amarillo. Queremos seleccionar 2 colores para pintar una habitación. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
- n = 4 (número total de colores)
- k = 2 (número de colores a seleccionar)
Aplicando la fórmula:
C(4, 2) = 4! / (2! * (4 – 2)!) = 4! / (2! * 2!) = 6
Por lo tanto, hay un total de 6 combinaciones posibles al seleccionar 2 colores de un conjunto de 4 colores.
Ejemplo 2:
Supongamos que tenemos un conjunto de 7 personas y queremos formar un comité de 3 personas. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
- n = 7 (número total de personas)
- k = 3 (número de personas a seleccionar)
Aplicando la fórmula:
C(7, 3) = 7! / (3! * (7 – 3)!) = 7! / (3! * 4!) = 35
Por lo tanto, hay un total de 35 combinaciones posibles al formar un comité de 3 personas a partir de un conjunto de 7 personas.
Ejemplo 3:
Supongamos que tenemos un conjunto de 10 cartas numeradas del 1 al 10. Queremos seleccionar 4 cartas para formar una mano de póker. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
- n = 10 (número total de cartas)
- k = 4 (número de cartas a seleccionar)
Aplicando la fórmula:
C(10, 4) = 10! / (4! * (10 – 4)!) = 10! / (4! * 6!) = 210
Por lo tanto, hay un total de 210 combinaciones posibles al seleccionar 4 cartas de un conjunto de 10 cartas numeradas.
Preguntas Frecuentes
¿Cuáles son los ejemplos resueltos más adecuados para comprender el concepto de combinación sin repetición?
La combinación sin repetición es un concepto matemático que se utiliza para calcular el número de formas en las que se pueden seleccionar objetos de un conjunto sin tener en cuenta el orden y sin permitir repeticiones.
Un ejemplo común para comprender este concepto es el siguiente:
Supongamos que tenemos un grupo de 5 amigos y queremos formar un equipo de 3 personas para participar en un concurso. ¿De cuántas formas distintas podemos seleccionar a los integrantes del equipo?
Para resolver este problema, utilizamos la fórmula de combinaciones sin repetición:
C(n,r) = n! / (r!(n-r)!),
donde:
– n es el número total de elementos en el conjunto inicial (en este caso, el número de amigos)
– r es el número de elementos que se seleccionarán (en este caso, el número de integrantes del equipo)
– n! es el factorial de n, es decir, el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n
Aplicando la fórmula, obtendremos:
C(5,3) = 5! / (3!(5-3)!) = (5 x 4 x 3 x 2 x 1) / ((3 x 2 x 1) x (2 x 1)) = 10.
Por lo tanto, existen 10 formas diferentes de seleccionar un equipo de 3 personas entre un grupo de 5 amigos.
En resumen, la combinación sin repetición nos permite calcular el número de formas en las que se pueden seleccionar objetos de un conjunto sin tener en cuenta el orden y sin permitir repeticiones.
¿Cómo se resuelve un problema de combinación sin repetición y cuál es su utilidad en problemas reales?
La resolución de un problema de combinación sin repetición se realiza utilizando la fórmula del coeficiente binomial, que se representa como C(n, r). Esta fórmula nos permite calcular el número de formas diferentes en que se pueden seleccionar r elementos de un conjunto de n elementos, sin importar el orden.
Para resolverlo, simplemente debemos aplicar la fórmula C(n, r) = n! / (r!(n-r)!), donde n! representa el factorial de n, es decir, el producto de todos los números enteros desde 1 hasta n.
La utilidad de este tipo de problemas en la vida real radica en su aplicación en diversas áreas como la estadística, la combinatoria y la probabilidad. Algunos ejemplos prácticos podrían ser:
1. En una tienda de ropa, se desea saber de cuántas formas distintas se pueden seleccionar 3 camisas de un total de 10 modelos. En este caso, aplicamos la fórmula C(10, 3) y obtenemos el resultado: 120. Por lo tanto, hay 120 formas diferentes de seleccionar 3 camisas.
2. En un juego de cartas, se quiere determinar el número de posibles combinaciones de 5 cartas al repartir un mazo completo de 52 cartas. En este caso, aplicamos la fórmula C(52, 5) y encontramos que existen 2,598,960 combinaciones posibles.
3. En un sorteo de lotería, se desea calcular la probabilidad de acertar los 6 números ganadores seleccionados de un total de 49 posibles. Aplicamos la fórmula C(49, 6) para obtener todas las combinaciones posibles de seleccionar 6 números de los 49 disponibles. Luego, podemos calcular la probabilidad dividiendo 1 entre la cantidad total de combinaciones obtenidas.
En resumen, la resolución de problemas de combinación sin repetición nos permite determinar el número de formas distintas en que se pueden seleccionar elementos de un conjunto dado, lo cual resulta fundamental en áreas como la estadística, la probabilidad y la combinatoria.
¿Cuáles son las características principales de la combinatoria y cómo se aplican en ejemplos de combinaciones sin repetición?
La combinatoria es una rama de las matemáticas que estudia la manera en que se pueden combinar elementos para formar distintos conjuntos o agrupaciones. En este caso, nos enfocaremos en las combinaciones sin repetición, que son aquellas en las que no se pueden repetir elementos dentro de un mismo conjunto.
Las características principales de la combinatoria son:
1. Orden de los elementos: En las combinaciones sin repetición, el orden de los elementos no importa. Por ejemplo, si tenemos los elementos A, B y C, las combinaciones AB, BA y AC serían consideradas como la misma combinación.
2. Elementos no repetidos: En las combinaciones sin repetición, no se pueden repetir elementos dentro de un mismo conjunto. Por ejemplo, si tenemos los elementos A, B, C y D, la combinación AABB no sería válida.
3. Número de elementos: El número de elementos seleccionados en una combinación también es relevante. Por ejemplo, si tenemos los elementos A, B, C y D, las combinaciones de 2 elementos serían AB, AC, AD, BC, BD y CD.
4. Fórmula para calcular el número de combinaciones: Para determinar el número de combinaciones posibles sin repetición, se utiliza la fórmula del coeficiente binomial o combinatorio, que es nCr = n! / (r! * (n – r)!), donde n es el número total de elementos y r es el número de elementos seleccionados.
Por ejemplo, si queremos calcular el número de combinaciones posibles de 3 elementos seleccionados de un conjunto de 5 elementos, podemos aplicar la fórmula: 5C3 = 5! / (3! * (5 – 3)!) = 10.
Un ejemplo concreto de combinación sin repetición sería el siguiente:
Imaginemos que tenemos un equipo de 8 estudiantes y queremos seleccionar un comité de 3 estudiantes para representar al grupo en una competencia. Aplicando las características de la combinatoria, podemos calcular el número de combinaciones posibles utilizando la fórmula del coeficiente binomial:
8C3 = 8! / (3! * (8 – 3)!) = 8! / (3! * 5!) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 56
Por lo tanto, hay 56 formas diferentes de seleccionar un comité de 3 estudiantes de un equipo de 8.
¿Qué ejemplos prácticos se pueden encontrar en la vida cotidiana que involucren el uso de combinaciones sin repetición?
Una situación común en la vida cotidiana que involucra el uso de combinaciones sin repetición es la elección de ropa. Supongamos que tienes 3 camisas y 2 pantalones, y quieres armar diferentes conjuntos sin repetir ninguna prenda. En este caso, puedes utilizar las combinaciones sin repetición para determinar cuántos conjuntos posibles puedes crear.
Las combinaciones sin repetición se representan mediante la fórmula de la combinatoria, que está dada por:
nCr = n! / (r! * (n-r)!)
Donde “n” representa el número total de elementos y “r” representa el número de elementos que deseas seleccionar.
En este caso, tenemos 3 camisas (n = 3) y queremos seleccionar 2 camisas (r = 2). Aplicando la fórmula de la combinatoria, obtenemos:
3C2 = 3! / (2! * (3-2)!)
= 3! / (2! * 1!)
= 3 / (2 * 1)
= 3
Por lo tanto, hay 3 combinaciones posibles de camisas que puedes elegir.
De manera similar, si tienes 2 pantalones (n = 2) y quieres seleccionar 1 pantalón (r = 1), la fórmula de la combinatoria sería:
2C1 = 2! / (1! * (2-1)!)
= 2! / (1! * 1!)
= 2 / (1 * 1)
= 2
Entonces, hay 2 combinaciones posibles de pantalones que puedes elegir.
Para encontrar el número total de conjuntos de ropa que puedes crear sin repetir prendas, simplemente tienes que multiplicar el número de combinaciones posibles de camisas por el número de combinaciones posibles de pantalones:
3 (combinaciones de camisas) * 2 (combinaciones de pantalones) = 6
Por lo tanto, puedes armar 6 conjuntos diferentes de ropa sin repetir ninguna prenda.
En resumen, el uso de combinaciones sin repetición puede ser aplicado en la vida cotidiana para determinar las diferentes opciones que tenemos al combinar elementos sin repetirlos, como en el ejemplo de armar conjuntos de ropa con distintas combinaciones de camisas y pantalones.
En conclusión, hemos explorado con detalle los ejemplos resueltos de combinación sin repetición, un tema fundamental en la teoría de conjuntos. A través de estos ejercicios, hemos comprendido cómo determinar de manera precisa el número de combinaciones posibles, sin duplicados. Espero que esta información haya sido de utilidad para ampliar tus conocimientos en este campo. Si deseas seguir profundizando en el tema, te invito a compartir este artículo y a continuar leyendo nuestras publicaciones relacionadas. ¡Sigamos aprendiendo juntos!
